II կիսամյակ: Աստիճանային ֆունկցիա

Աստիճանային ֆունցկիա

Աստիճանային ֆունկցիա կոչվում է հետևյալ բանաձևով տրված ֆունկցիան, որտեղ a-ն 0-ից տարբեր թիվ է` f(x) = x^a

Բնական ցուցիչով ֆունկցիան աստիճանային ֆունկցիան շատ հատկություններով նման է գծային ֆունկցիային, երբ n-ը կենտ է, և քառակուսայինին` երբ n-ը զույգ է:

n-ը կենտ դեպքում, ֆունկցիայի հատկությունները`
1. Ֆունկցիայի որոշման տիրույթն անբողջ թվային առանցքն է` D(f) = (-∞; ∞)
2. Ֆունկցիան կենտ է` f(-x) = (-x)<sup>n</sup> = -x<sup>n</sup> = -f(x), հետևաբար` ֆունկցիայի գրաֆիկը համաչափ է կոորդինատների սկզբնակետերի նկատմամբ:
3. Ֆունկցիան ունի մեկ զրո` f(0) = 0
4. Ֆունկցիան դրական է, երբ x պատկանում է (0; ∞) և բացասական` երբ x պատկանում է (-∞; 0):
5. Ֆունկցիան աճում է ամբողջ թվային առանցքի վրա:

Ենթադրենք` x<sub>1</sub> < x<sub>2</sub> և համոզվենք, որ f(x<sub>1</sub>) < f(x<sub>2</sub>): Դիտարկենք երեք դեպք`
ա) 0 ≤ x₁ ≤ x₂, ապա ըստ բնական ցուցիչով աստիճանի հատկության` f(x<sub>1</sub>) ≤ f(x<sub>2</sub>):
բ) x<sub>1</sub> < 0 ≤ x<sub>2</sub>, ապա ըստ 4-րդ հատկության` f(x₁) < 0 ≤ f(x₂):
գ) x₁ < x₂ ≤ 0, ապա –x₁ > -x₂ ≥ 0, ուստի f(-x₁) > f(-x₂), որտեղից, ֆունցկիայի կենտությունից հետևում է, որ` -f(x₁) > -f(x₂), => f(x₁) < f(x₂):

6. Ֆունկցիայի արժեքների բազմությունը ամբողջ թվային առանցքն է` E(f) = (-∞; ∞):

Հետևություն` ֆունկցիան սահմանափակ է և չունի մեծագույն ու փոքրագույն արժեքներ:

n-ը զույգ դեպքում, ֆունկցիայի հատկությունները`
1. Ֆունկցիայի որոշման տիրույթն անբողջ թվային առանցքն է` D(f) = (-∞; ∞)
2. Ֆունկցիան զույգ է` f(-x) = (-x)<sup>n</sup> = x<sup>n</sup> = f(x), հետևաբար` ֆունկցիայի գրաֆիկը համաչափ է կոորդինատների սկզբնակետերի նկատմամբ:
3. Ֆունկցիան ունի մեկ զրո` f(0) = 0
4. Ֆունկցիան դրական է, երբ x ≠ 0:
5. Ֆունկցիան նվազում է (-∞; 0] և աճում [0; ∞) միջակայքերում:
6. Ֆունկցիայի փոքրագույն արժեքը 0-ն է, որն ընդունում է 0 կետում: Ֆունկցիան չունի մեծագույն արժեք:
7. Ֆունկցիայի արժեքների բազմությունը ոչ բացասական թվերի բազմությունն է` E(f) = [0; ∞)

Օրինակներ շտեմարանից`

II կիսամյակ: Լոգարիթմական ֆունկցիա

Լոգարիթմական ֆունկցիա կոչվում է տրված բանաձևով ֆունկցիան, որտեղ a-ն 0-ից մեծ, բայց 1-ին ոչ հավասար թիվ է`

Լոգարիթմական ֆունկցիա հիմնական հատկությունները`
Ֆունկցիա որոշման տիրույթը 0-ից մեծ թվերի ամբողջ միջակայքն է` (0; ∞)
Ֆունկցիա արժեքների տիրույթը ամբողջ թվային առանցքն է` (-∞; ∞)
Ֆունկցիան մնում է մոնոտոն ողջ որոշման տիրույթում: Ընդ որում, a>1 դեպքում այն աճող է, իսկ 0<a<1 ` նվազող:
Ապացուցենք, որ a>1 դեպքում կամայական x₁ ու x₂ թվերի համար հավասարումից հետևում է, որ`

Ենթադրենք, որ x₁<x₂, բայց`

Հաշվի առնելով, որ y=a^x  ֆունկցիան a>1 դեպքում աճող է, կստանանք հետևյալ անհավասարումը`

Անհավասարումից հետևում է, որ x₁>x₂: Դա հակասում սկզբում տրված` x<sub>1</sub><x<sub>2</sub> պայմանին, հետևաբար x<sub>1</sub><x<sub>2</sub> դեպքում`

Նման ձևով, օգտվելով 1-ից փոքր հիմով ցուցչային ֆունկցիայի նվազող լինելուց, կապացուցենք, որ 0<a<1 դեպքում լոգարիթմական ֆունկցիան նվազող է:

1    Ֆունկցիան 0 արժեք ընդունում է x=1 կետում:

2    ա) a>1 ֆունկցիան բացասական է (0;1) և դրական (1; ∞) միջակայքում:

բ) 0<a<1 դեպքում ֆունկցիան դրական է (0;1) և բացասական (1; ∞) միջակայքում:

Օրինակ շտեմարանից`

Լոգարիթմեր

b թվի a հիմքով լոգարիթմ, կոչվում է այն թիվը, որով պետք է աստիճան բարձրացնել a հիմքը, b թիվը ստանալու համար (ըստ պայմանի, a-ն մեծ է 0-ից, բայց հավասար չէ 1-ի)`

  կարդացվում է լոգարիթմ a հիմքով b:

Լոգարիթմերի հատկություններ`

Խնդիրների լուծման օրինակներ`

Հավասարումներ և անհավասարումներ

Հավասարումների օրինակներ`

Անհավասարումների օրինակներ`

Եռանկյունաչափություն

Եթե վերցնենք միավոր շրջանագիծ (շրջանագիծ, որի սկզբնակետը 0-ն է, իսկ շառավղի երկարությունը` 1) և որևէ α անկյան տակ տանենք շառավիղ, ապա այդ շառավղի պրոեկցիան y առանցքի վրա կոչվում է α անկյան սինուս` sinα, իսկ x առանցքի վրա` α անկյան կոսինուս` cosα: 

Ըստ դրա են որոշվում ֆունկցիաների նշանները առաջինից չորրորդ քառորդներում: Սինուսի հարաբերությունը կոսինուսին կոչվում է α անկյան տանգենս` tgα, իսկ կոսինուսի հարաբերությունը սինուսին` α անկյան կոտանգենս` ctgα: Սինուսի և կոսինուսի արժեքների տիրույթը ընկում է -1-ից 1, իսկ տանգենսը և կոտանգենսը կարող են ընդունել ցանկացած արժեք:

Խնդիրների լուծման օրինակներ`

Իրական թվեր

Կոտորակներ

Կոտորակները լինում են երկու տեսակի՝ կանոնավոր և անկանոն:

Կանոնավոր են կոչվում այն կոտորակները, որոնց համարիչը փոքր է հայտարարից:

Անկանոն են կոչվում այն կոտորակները, որոնց համարիչը մեծ է հայտարարից:

Գումարում`

Նույն հայտարարով կոտորակներ գումարելիս, կոտորակի հայտարարը մնում է անփոփոխ, իսկ համարիչները գումարվում են:

Տարբեր հայտարարներով կոտորակներ գումարելիս պետք է կոտորակները բերել նույն հայտարարի: Եթե հայտարարներների թվերը փոխադարձաբար թվեր են, ապա այդ դեպքում առաջին կոտորակի համարիչն ու հայտարարը բազմապատկվում են երկրորդ կոտորակի հայտարարով, իսկ երկրորդինը` առաջինով:

Եթե կոտորակների հայտարարները ունեն ընդհանուր բաժանարար, ապա հայտարարը լինում է այդ թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը`

Հանում`

Նույն հայտարարով կոտորակներ հանելիս, կոտորակի հայտարարը մնում է անփոփոխ, իսկ համարիչները հանվում են:

Տարբեր հայտարարներով կոտորակներ հանում`

Բազմապատկում.

Կոտորակները բազմապատկելիս, համարիչը բազմապատկվում է համարիչով, հայտարարը` հայտարարով:

Բաժանում.

Կոտորակները բաժանելիս, առաջին կոտորակը մնում է անփոփոխ, երկրորդ կոտորակը շրջվում է և կոտորակները բազմապատկվում են:

Բացասական թվեր`

Բացասակն թվերը 0-ից փոքր բոլոր թվերն են: Օրինակ` -1, -5, -179:

Բացարձակ արժեք. Մոդուլ`

Եթե վերցնենք թվային առանցք, ապա թվի մոդուլը այդ թվին համապատասխանող հատվածի երկարությունն է` հաշված 0-ից:

|2|= 2-0= 2

|-2|= 0-(-2)= 2

Տասնորդական կոտորակներ.

Գումարումը.

Տասնորդական կոտորակներ գումարելիս, կոտորակները բերվում են նույն կարգի` թվից հետո թվանշանների քանակը հավասարեցնում են`

4.5 + 6.3 = 10.8

0.53 + 1.469 = 0.530 + 0.469 = 1.999

Հանումը տեղի է ունենում նույնպես, ինչպես գումարումը`

6.8 – 2.7 = 4.1

3.867 – 2.85 = 3.867 – 2.850 = 1.017

Տասնորդական կոտորակների բազմապատկումը`

Տասնորդական կոտորակները բազմապակելիս, ստորակետները անտեսվում են, թվերը բազմապակտվում են ինչպես սովորական թվերը, իսկ ստորակետների քանակը գումարվում է:

1.4 * 0.2 = 0.28

1.5 * 0.2 = 0.3

Տասնորդական կոտորակների բաժանումը`

Տասնորդական կոտորակները բաժանելիս, ստորակետները անտեսվում են, թվերը բաժանվում են իրար վրա ինչպես սովորական թվերը, իսկ ստորակետները հանվում են իրարից`

3.6 / 0.9 = 4

0.25 / 0.5 = 0.5

0.51 / 5.1 = 0.1