II կիսամյակ: Աստիճանային ֆունկցիա

Աստիճանային ֆունցկիա

Աստիճանային ֆունկցիա կոչվում է հետևյալ բանաձևով տրված ֆունկցիան, որտեղ a-ն 0-ից տարբեր թիվ է` f(x) = x^a

Բնական ցուցիչով ֆունկցիան աստիճանային ֆունկցիան շատ հատկություններով նման է գծային ֆունկցիային, երբ n-ը կենտ է, և քառակուսայինին` երբ n-ը զույգ է:

n-ը կենտ դեպքում, ֆունկցիայի հատկությունները`
1. Ֆունկցիայի որոշման տիրույթն անբողջ թվային առանցքն է` D(f) = (-∞; ∞)
2. Ֆունկցիան կենտ է` f(-x) = (-x)<sup>n</sup> = -x<sup>n</sup> = -f(x), հետևաբար` ֆունկցիայի գրաֆիկը համաչափ է կոորդինատների սկզբնակետերի նկատմամբ:
3. Ֆունկցիան ունի մեկ զրո` f(0) = 0
4. Ֆունկցիան դրական է, երբ x պատկանում է (0; ∞) և բացասական` երբ x պատկանում է (-∞; 0):
5. Ֆունկցիան աճում է ամբողջ թվային առանցքի վրա:

Ենթադրենք` x<sub>1</sub> < x<sub>2</sub> և համոզվենք, որ f(x<sub>1</sub>) < f(x<sub>2</sub>): Դիտարկենք երեք դեպք`
ա) 0 ≤ x₁ ≤ x₂, ապա ըստ բնական ցուցիչով աստիճանի հատկության` f(x<sub>1</sub>) ≤ f(x<sub>2</sub>):
բ) x<sub>1</sub> < 0 ≤ x<sub>2</sub>, ապա ըստ 4-րդ հատկության` f(x₁) < 0 ≤ f(x₂):
գ) x₁ < x₂ ≤ 0, ապա –x₁ > -x₂ ≥ 0, ուստի f(-x₁) > f(-x₂), որտեղից, ֆունցկիայի կենտությունից հետևում է, որ` -f(x₁) > -f(x₂), => f(x₁) < f(x₂):

6. Ֆունկցիայի արժեքների բազմությունը ամբողջ թվային առանցքն է` E(f) = (-∞; ∞):

Հետևություն` ֆունկցիան սահմանափակ է և չունի մեծագույն ու փոքրագույն արժեքներ:

n-ը զույգ դեպքում, ֆունկցիայի հատկությունները`
1. Ֆունկցիայի որոշման տիրույթն անբողջ թվային առանցքն է` D(f) = (-∞; ∞)
2. Ֆունկցիան զույգ է` f(-x) = (-x)<sup>n</sup> = x<sup>n</sup> = f(x), հետևաբար` ֆունկցիայի գրաֆիկը համաչափ է կոորդինատների սկզբնակետերի նկատմամբ:
3. Ֆունկցիան ունի մեկ զրո` f(0) = 0
4. Ֆունկցիան դրական է, երբ x ≠ 0:
5. Ֆունկցիան նվազում է (-∞; 0] և աճում [0; ∞) միջակայքերում:
6. Ֆունկցիայի փոքրագույն արժեքը 0-ն է, որն ընդունում է 0 կետում: Ֆունկցիան չունի մեծագույն արժեք:
7. Ֆունկցիայի արժեքների բազմությունը ոչ բացասական թվերի բազմությունն է` E(f) = [0; ∞)

Օրինակներ շտեմարանից`