Աստիճանային ֆունցկիա
Աստիճանային ֆունկցիա կոչվում է հետևյալ բանաձևով տրված ֆունկցիան, որտեղ a-ն 0-ից տարբեր թիվ է` f(x) = xa
Բնական ցուցիչով ֆունկցիան աստիճանային ֆունկցիան շատ հատկություններով
նման է գծային ֆունկցիային, երբ n-ը կենտ է, և քառակուսայինին` երբ n-ը զույգ է:
n-ը կենտ դեպքում, ֆունկցիայի հատկությունները`1. Ֆունկցիայի որոշման տիրույթն անբողջ թվային առանցքն է` D(f) = (-∞; ∞)
2. Ֆունկցիան կենտ է` f(-x) = (-x)n = -xn = -f(x), հետևաբար` ֆունկցիայի գրաֆիկը համաչափ է կոորդինատների սկզբնակետերի նկատմամբ:
3. Ֆունկցիան ունի մեկ զրո` f(0) = 0
4. Ֆունկցիան դրական է, երբ x պատկանում է (0; ∞) և բացասական` երբ x պատկանում է (-∞; 0):
5. Ֆունկցիան աճում է ամբողջ թվային առանցքի վրա:
Ենթադրենք` x1 < x2 և համոզվենք, որ
f(x1) < f(x2): Դիտարկենք երեք դեպք`
ա) 0 ≤ x1 ≤ x2, ապա ըստ բնական ցուցիչով աստիճանի հատկության` f(x1) ≤ f(x2):
բ) x1 < 0 ≤ x2, ապա ըստ 4-րդ հատկության` f(x1) < 0 ≤ f(x2):
գ) x1 < x2 ≤ 0, ապա –x1 > -x2 ≥ 0, ուստի f(-x1) > f(-x2), որտեղից, ֆունցկիայի կենտությունից հետևում է, որ` -f(x1) > -f(x2), => f(x1) < f(x2):
ա) 0 ≤ x1 ≤ x2, ապա ըստ բնական ցուցիչով աստիճանի հատկության` f(x1) ≤ f(x2):
բ) x1 < 0 ≤ x2, ապա ըստ 4-րդ հատկության` f(x1) < 0 ≤ f(x2):
գ) x1 < x2 ≤ 0, ապա –x1 > -x2 ≥ 0, ուստի f(-x1) > f(-x2), որտեղից, ֆունցկիայի կենտությունից հետևում է, որ` -f(x1) > -f(x2), => f(x1) < f(x2):
6. Ֆունկցիայի արժեքների բազմությունը ամբողջ թվային առանցքն
է` E(f) = (-∞; ∞):
Հետևություն` ֆունկցիան սահմանափակ է և չունի մեծագույն ու փոքրագույն
արժեքներ:
n-ը զույգ դեպքում, ֆունկցիայի հատկությունները`1. Ֆունկցիայի որոշման տիրույթն անբողջ թվային առանցքն է` D(f) = (-∞; ∞)
2. Ֆունկցիան զույգ է` f(-x) = (-x)n = xn = f(x), հետևաբար` ֆունկցիայի գրաֆիկը համաչափ է կոորդինատների սկզբնակետերի նկատմամբ:
3. Ֆունկցիան ունի մեկ զրո` f(0) = 0
4. Ֆունկցիան դրական է, երբ x ≠ 0:
5. Ֆունկցիան նվազում է (-∞; 0] և աճում [0; ∞) միջակայքերում:
6. Ֆունկցիայի փոքրագույն արժեքը 0-ն է, որն ընդունում է 0 կետում: Ֆունկցիան չունի մեծագույն արժեք:
7. Ֆունկցիայի արժեքների բազմությունը ոչ բացասական թվերի բազմությունն է` E(f) = [0; ∞)
Օրինակներ շտեմարանից`
